ICMS 5502-0

Brief

本課程為偏微分方程的基礎課程，將介紹一些物理、電化學、生物模型，主要有橢圓型方程(例如：電位方程)、拋物型方 程(例如：熱傳導方程)、雙曲型方程(例如：波方程)。此課程將著重於偏微分方程的基礎，如解的定性分析及其相關應 用。

Description

Course keywords: 橢圓型方程 (elliptic equation), 拋物型方程 (parabolic equation), 雙曲型方程 (hyperbolic equation), 定性分析 (qualitative analysis), 非線性方程 (nonlinear equation) ● 指定用書(Text Books) 教師自備講義 ● 參考書籍(References) Elliptic Partial Differential Equations of Second Order/D. Gilbarg; N.S. Trudinger/Springer Berlin (Reprint of the 1998 Edition) The Nonlinear Schrodinger Equation, Self-Focusing and Wave Collapse/C. Sulem; P.-L. Sulem/Springer New York (1999) Linear and Nonlinear Integral Equations, Methods and Applications/A.M. Wazwaz/Springer Berlin (2011) ● 教學方式(Teaching Method) 以板書為主 ● 教學進度(Syllabus) Part 1：介紹基本的流體方程的物理背景以及 Schrödinger 方程，進一步地介紹相關的守恒律 (conservation laws) 及推導孤粒子解(bright and dark soliton solutions) 的精確型式 (針對 空間一維立方型的方程)。最後，我會介紹一個處理穩態解 (steady state; stable solution)的存在 性(existence) 以及唯一性(uniqueness)/多解性(multiplicity); 視方程的形態而定。 Part 2：介紹電化學-電雙層模型–其主要應用在電解質溶液的流 體、離子濃度在非平衡態或達到平衡態時，預測離子濃度以及電 位之間如何互相影響。我們將介紹一些相關的模型： (1) Poisson–Boltzmann equations: standard, nonlocal (2) Poisson–Nernst–Planck system. (3) Navier–Stokes–Nernst–Planck–Poisson system. 我也會介紹一些相關的數學模型的解的存在性及奇攝動 (singular perturbation) 分析。 Part 3：介紹 nonlinear differential equations 的基本定性分析： (1) 一階微分方程、積分估計法、Gronwall-type estimates (2) 二階微分方程、最大值原理 (Maximum principle)、比較原理 (Comparison principle) (3) 上、下解的存在性 (4) 最大模估計 (Maximum modulus estimate) Part 4： (1) 介紹非局部方程及非局部邊界條件，應用固定點理論來證明解的存在性 (2) 奇攝動微分方程 (singularly perturbed differential equations) (3) 基本的漸近分析 (asymptotic analysis) 方法。 ● 成績考核(Evaluation) 出席 (10%)、 臺上講解作業與問答 (30%)、 期中考 (30%)、 期末考(30%) ● 本課程無涉及AI使用 Not applicable

Timetable

Scores

Average GPA 3.62

Std. Deviation 0.5

Remarks

Restrictions

計科所優先，第3次選課起開放全校修習

Compulsory

Elective

Cross Discipline

First Specialization

Second Specialization